PRESENTACIÓN

 

ACTIVIDAD # 6

SEMANA DEL 10 AL 14 DE MAYO

PROBLEMAS QUE IMPLICAN EL USO DE ECUACIONES LINEALES, CUADRATICAS O SISTEMA DE ECUACIONES.

Plantear Y resolver problemas mediante el uso de ecuaciones resulta ser uno de los objetivos de la competencia matemática, por lo que es importante desarrollar esta capacidad.

Ejemplos:
1. Un numero cualquiera: x
2. La suma de dos números diferentes: x + y
3. La diferencia de dos números: x - y
4. El producto de dos números: x y
5. El cociente de dos números: x/y
6. El cubo de un numero: x3
7. El triple del cuadrado de un numero: 3x2
8. La suma de los cuadrados de dos números: x2 + y2
9. La quinta parte del cubo de un numero: x3/5
10. El cubo de la quinta parte de un numero: (x/5)3
11. La suma de dos números dividida entre su diferencia: (x + y)/(x - y)
12. ¿Cuál es el número que agregado a 3 suma 8?: x + 3 = 8
13. ¿Cuál es el número que disminuido de 20 da por diferencia 7?: x - 20 = 7
14. Las tres quintas partes de un numero aumentado en un cuarto: 3/5 x + 1/4 
15. La diferencia entre un número y su anterior: x - (x-1).

 

ECUACIONES LINEALES

1.   Sea x un número cualquiera. Escribir las siguientes expresiones mediante lenguaje algebraico.

Expresión escrita	Expresión algebraica
El doble de x	2x
El triple de x	3x
El cuádruple de x	4x
La mitad de x	1/2 x
Un tercio de x	1/3 x
Los tres cuartos de x	3/4 x
El 80% de x	(80/100)·x = 0,8x
El 25% de x	(25/100)·x = 0,25x
El consecutivo o el sucesor de x  (x∈Ζ)	x + 1
El anterior o antecesor de x  (x∈Ζ)	x - 1
Tres números consecutivos cualesquiera	x  ,  (x + 1)  ,  (x + 2) , o bien, (x - 1)  ,  x  , ( x + 1)
Los siguientes tres números consecutivos de x	(x + 1)  , ( x + 2)  ,  (x + 3)
Tres números pares consecutivos	2x  ,  2(x + 1)  ,  2(x + 2)  , es decir: 2x   ,  (2x + 2)  ,  (2x + 4)
Tres números impares consecutivos	2x+1  ,  (2x + 2) + 1  ,  (2x + 4)+1  , es decir: (2x + 1)  , (2x + 3)  ,  (2x + 5)
El resultado de sumar un número a 5	5 + x
La suma de algún número y 11	x + 11
El resultado de restar a 9 algún número	9 - x
7 por algún número	7x
Dos veces la suma de un número más 4	2 (x + 4)
Un número y su raíz cuadrada	x  ,  √x
Dos números, uno el triple del otro	x  ,  3x
Dos números cuya razón es 2/3	2x/3x = 2/3   ⇒   2x  ,  3x
Tres números proporcionales a 2 , 3 y 4	2x  ,  3x  ,  4x
Tres números inversamente proporcionales a 2 , 3 y 4	x/2  ,  x/3  ,  x/4

 

ECUACIONES CUADRATICAS

2.   Escribe las siguientes ecuaciones con una incógnita.

Expresión escrita	Expresión algebraica
La suma de tres números consecutivos es 20	x + (x + 1) + (x + 2) = 20
La suma de dos números impares consecutivos es 18	(2x + 1) + (2x + 3) = 18
La suma de dos números pares consecutivos es 26	2x + (2x + 2) + (2x + 4) = 26
Un número más su séptima parte es 18	x + x/7 = 18
La suma de dos números consecutivos es 16	x + (x + 1) = 16
La suma de tres números consecutivos es 20	x + (x + 1) + (x + 2) = 20
La suma de cuatro números consecutivos es 42	x + (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) = 20
La suma de dos números impares consecutivos es 18	(2x + 1) + (2x + 3) = 18
La suma de tres números pares consecutivos es 26	2x + (2x + 2) + (2x + 4) = 26
La suma de tres múltiplos de 3 consecutivos es 84	3x + 3(x + 1) + 3(x + 2) = 84
La suma de tres múltiplos de 5 consecutivos es 115	5x + 5(x + 1) + 5(x + 2) = 115
La suma de cuatro números proporcionales a  2 ,  3 ,  4  y  5  es   54	2x + 3x + 4x + 5x = 54
La suma de cuatro números inversamente proporcionales a  2 ,   3 ,   4   y   5   es    345	x/2 + x/3 + x/4 + x/5 = 345

 

1.   Sea x un número cualquiera. Escribir las siguientes expresiones mediante lenguaje algebraico.

Expresión escrita	Expresión algebraica
El cuadrado de x	x2
El cubo de x	x3
Un número y su cuadrado	x  ,  x2
Un número y su raíz cuadrada	x2  , x
Los cuadrados de tres números consecutivos	x2 , (x + 1)2 , (x + 2)2
Los cuadrados de dos números cuya suma es 6	x2  , (6 - x)2 x + (6 - x) = 6
Los cuadrados de dos números cuya diferencia es 12	x2  , (x - 12)2 x - (x - 12) = 12
Los cuadrados de dos números cuyo cociente es 9	x2  , (9x)2 9x/x = 9
Los cuadrados de tres números proporcionales a  4,  5  y  6	(4x)2, (5x)2, (6x)2 4x , 5x , 6x

 

SISTEMA DE ECUACIONES

2.   Escribe las siguientes ecuaciones con una incógnita.

Expresión escrita	Expresión algebraica
La suma de los cuadrados de dos números consecutivos es 265	x2 + (x + 1)2 = 265
La diferencia entre los cuadrados de dos números consecutivos es 17	(x + 1)2 - x2 = 17
El producto de un número por su cuarta parte es 100	4x · x = 100
El producto de tres números consecutivos es 120	x · (x + 1) · (x + 2) = 120
El producto de dos números impares consecutivos es 143	(2x + 1)(2x + 3) = 143

 

Valor numérico

Las expresiones algebraicas indican operaciones con

números desconocidos.

Por ejemplo, si un operario cobra 15 € por el

desplazamiento y 20 € por cada hora, la expresión

algebraica 15 + 20x indica el importe que cobrará

por un número desconocido x de horas de trabajo.

Y si queremos averiguar cuanto cobrará por trabajar

2 horas sustituiremos x por 2. Observa:

15+20x 15+20.2=15+40=55 euros

De esta forma hemos hallado el valor numérico de

15 + 20x para x = 2 y hemos obtenido 55.

Al resolver un problema mediante

una ecuación seguiremos los

siguientes pasos:

▪ Leer atentamente el enunciado.

▪ Identificar la incógnita.

▪ Plantear la ecuación.

▪ Resolver la ecuación planteada.

▪ Comprobar la solución obtenida.

▪ Escribir la respuesta.

Resolución de ecuaciones

Resolver una ecuación consiste en hallar su

solución.

Observa como se procede para resolver la ecuación

7x - 2 = 5x + 4

▪ Realizamos una transposición de términos pasando

a un miembro todos los términos que contienen

la incógnita y al otro miembro los que no la

contienen.

7x - 5x = 4 + 2

▪ Efectuamos operaciones en cada uno de los

miembros para reducir los términos semejantes.

2x = 6

▪ Despejamos la incógnita y calculamos la solución.

2

6

x = = 3

La solución de la ecuación 7x -2 = 5x + 4 es x =3.

 

Resolución de problemas

Se pueden resolver algunos problemas en los que se

plantea una relación de igualdad mediante

ecuaciones. Por ejemplo, veamos el siguiente

problema:

El doble de un número menos 2 es igual a 8.

¿De qué número se trata?

▪ La incógnita es el número desconocido: x

▪ Expresamos mediante una ecuación la igualdad

planteada en el enunciado:

2x-2=8

▪ Resolvemos la ecuación:

2x = 8+2

2x = 10

x=

2

10

=5

▪ Comprobamos si la solución de la ecuación

verifica las condiciones del enunciado:

2.5-2=8

▪ Respuesta: El número es 5.

De esta forma hemos resuelto un problema mediante

el planteamiento y la resolución de una ecuación.

EJERCICIOS resueltos

10. Comprueba si x = 3 es solución de alguna de las siguientes ecuaciones:

a) 4x – 1 = 2 b) 5x – 2 = 3x + 4 c) x + 4 = 2x + 1

a) 4 · 3 – 1 # 2 No es solución

b) 5 · 3 – 2 = 3 ·3 + 4 Si es solución

c) 3 + 4 = 2 · 3 + 1 Si es solución

11. Comprueba si las siguientes ecuaciones son equivalentes:

a) x +5 = 6 b) 2x + 4 = 5x + 1 c) 5x -5 = 0

a) x + 5 = 6 x = 6 – 5 x = 1

b) 2x + 4 = 5x + 1 2x – 5x = 1 - 4 -3x = -3 = =

- 3

- 3

x 1

c) 5x - 5 = 0 5x = 5 = =

5

5

x 1

Las tres ecuaciones son equivalentes ya que tienen la misma solución.

12. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 2x + 4 = 10

b) 4 + 4x = -8

c) 5x + 2 = 7x + 4

a) 2x + 4 = 10 2x = 10 – 4 2x = 6 = =

2

6

x 3

b) 4 + 4x = -8 4x = -8 – 4 4x = -12 = =

4

- 12

x -3

c) 5x + 2 = 7x + 4 5x – 7x = 4 – 2 -2x = 2 = =

- 2

2

x -1

13. En una bolsa que contiene 54 bolas entre blancas y negras, el número de bolas

blancas es superior en 10 al de bolas negras. ¿Cuántas bolas de cada color hay en

la bolsa?

bolas negras x bolas blancas x + 10

Ecuación: x + x + 10 = 54

x + x = 54 - 10

2x = 44

x = =

2

44

22 x + 10 = 22 + 10 = 32

Los valores 22 bolas negras y 32 bolas blancas verifican las condiciones del

enunciado. Así en la bolsa hay 22 bolas negras y 32 bolas blancas.

14. La suma de tres números enteros consecutivos es igual al menor menos 43. ¿De

qué números se trata?

número menor x siguiente a x x + 1 siguiente a x + 1 x + 2

Ecuación: x + x + 1 + x + 2 = x - 43

x + x + x - x = – 43 – 1 - 2

2x = -46

= =

2

- 46

x -23

x + 1 = -23 + 1 = -22 x + 2 = -23 + 2 = -21

Los valores -23, -22 y -21 verifican las condiciones del enunciado. Así los números

son -23, -22 y -21.

 

NOTA: RESUELVE LOS EJERCICIOS DE LAS PAGINAS 128 A LA 133 DEL COMPLEMENTO MATEMATICO. APOYATE DEL VIDEO PARA UNA MEJOR COMPRENSION DEL TEMA.